Numerische Integration
Der Rechner berechnet den bestimmten Integralwert mit dem der Rechteck-, Trapez-, Simpsonsche oder andere Newton-Cotes Formeln.
Die Numerik kann für Annäherung des definitiven Integralwert genutzt werden. Die numerische Integration wird verwendet, wenn es unmöglich ist, die Integration zu bewerten und dann das bestimmte Integral mit dem Newton-Leibnitz Axioms zu berechnen.
Die numerische Integration von einem einzelnen Arguments einer Funktion kann als Flächenberechnung (oder Quadratur) eines gekrümmten Trapezes dargestellt werden, dass von dem Graphen einer gegebenen Funktion begrenzt wird, wobei die x-Achse und die vertikalen Linien die gegebenen Limits begrenzen.
Die Integranden Funktion wird durch eine Einfachere (welche eine Integration hat) ersetzt, die den Integranden mit einer gegebenen Genauigkeit näherkommt. Wenn man den Integranden mit Lagrange-Polynomen, die an Punkten mit gleichem Abstand in gegebenen Limits ausgewertet werden, ergibt die Newton-Cotes Integrationsformeln wie:
Numerische Integration mit den Newton-Cotes Formeln
Numerische Integration mit der Verwendung von Newton-Cotes Formeln
Mit der Verwendung von den Newton-Cotes Formeln werden die Integrationsintervalle durch Punkte x1,x2,x3..xn in gleiche Liniensegmente geteilt.
Der Integrand wird durch die Lagrange-Polynomen von verschiedenen Graden ersetzt, deren Integration die numerische Integrationsformel mit verschiedenen Genauigkeitsgraden erzielt.
Schließlich wird die definitive Integralannährung als gewichtete Summe von dem Wert des Integranden für die Integrationspunkte ausgewertet.
- Wi - Gewicht, bestimmt durch Integralrechnung
- Rn - Rest oder Fehler.
- n – Anzahl von Integrationspunkten.
- Die Summe der Formel ist eine Quadraturregel.
Das Handbuch Newton-Cotes Quadraturformel beinhaltet ein paar häufig genutzten Newton-Cotes Quadraturregeln für die Integration von gleichgroßen Abständen. Jeder registrierte Nutzer kann weitere Quadraturregeln dem Handbuch zufügen.
Intregrationsgrenzen
Je nach den Endpunkten, die für die Integralrechnung genutzt wird, unterscheidet man zwischen offenen oder abgeschlossenen Regeln.
Offene Regel hat keine Endpunkte. Die offene Integration kann für Fälle genutzt werden, wo die Integranden Funktion in einigen Stellen nicht bestimmt ist.
Z.B. kann man in dem Rechteckverfahren den ln(x) definitiven Integralwert dem Liniensegment (0,1) annähern , obwohl In(0) nicht bestimmt ist.
Im Gegensatz dazu nutzt die geschlossene Regel Endpunkte und Mittelpunkte, um die Werte der Interganden Funktion zu bestimmen
Die halb-offenen Regeln (z.B. linke oder rechte Boxregel) kann auch für die Annäherung der Integrale zu einem Liniensegment, das nur zu einer Seite offen ist, nutzen.
Newton-Cotes Näherungsfehler
Normalerweise erhöht man die Genauigkeit durch die Erhöhung von Integrationspunkte (mit erhöhter Grade von Polynomen). Aber für einige Funktion stimmt dies nicht.
Karl Runge, ein deutscher Mathematiker, hat diese Kuriosität als erstes analysiert.
Er bemerkte, dass das Interpolation-Polynom mit gleichmäßigen Abständen für die Funktion in dem Bereich 0.726.. ≤ |x| <1 mit steigenden Graden von Polynomen nicht weiter konvergiert.
Dies kann man erklären, indem man die Fehlergleichung betrachtet. Die Formel beinhaltet das Intervall H und die Fakultät n!. Beide erhöhen die Genauigkeit, wenn N zur Unendlichkeit tendiert, aber der abgeleitete Teilwert von N-Grad, der die Genauigkeit in der Gleichung verringert, steigt für bestimmte Funktionen schneller an.
Zusätzlich bekommt man steigenden Interpolation Polynomgraden negative Gewichte, welche Berechnungsfehler erhöhen. Der Rechner stellt Ergebnisse von Zwischenquadraturfunktionen in grafischer Form an. Diese Verfahren mit nur positiven Wi Gewichten sehen dann aus wie das Riemannsche Integral aus. Wenn es negative Wi Gewichte gibt, zeigt der Graf positive und negative Hälften an, die breiter sind als das Integrationsintervall. Diesen Effekt kann man hier sehen:
Geschlossene Newton-Cotes Regel mit 11-Knoten
Nimmt man diesen Fehler in Betracht, ist es nicht empfohlen Regel mit Polynomgraden >10 zu nutzen.
Um die Genauigkeit zu erhöhen, kann man Intervalle in einige Abschnitte teilen, für die man das definitive Integral mit jeder Integrationsregel einzeln berechnen kann. Der endgültige Integralwert ist die Summe der einzelnen Teilintervalle.
Um die neuen Integrationsverfahren anhand von gleichmäßigen Abstandsintervallen zu bewerten, sollten Sie den folgenden Rechner zum Eingeben von Gewichten nutzen:
Numerische Integration mit Newton-Cotes Formelkoeffizienten
Die Gewichte sind mit Komma getrennte reelle Zahlen oder Brüche. Der erste Koeffizient in der Liste von Gewichten ist der gemeinsame Multiplikator – geben Sie eine 1 an, wenn es keinen gemeinsamen Multiplikator geben sollte.
Z.B. 3/8,1,3,3,1 Gewichte könnengenutzt werden für 3/8 simpsonische Formel
Die Verwendung von den Newton-Cotes Integrationsregel für die definitive Integralnäherung ist nicht ideal. Für die richtige Anwendungen sollten Sie besser bessere Verfahren nutzen, wie z.B. die Gaus Quadratur. Wir hoffen, dass wir diesen Verfahren in einem neuen Rechner und Artikel beschreiben können.
Fachliterature:
- N.S. Bakhvalov Numerical methods, 2012
- U.G.Pirumov Numerical methods, 2006
- D. Kahaner, C.Moler, S.Nash Numerical methods and software, 1989
- R.V. Hamming Numerical methods for scientists and engineers, 1972
- M. Abramovitz и I. Stegun Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables, 1973
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