Online-Rechner: Richtungswinkel und Distanz zwischen zwei Punkten auf der Loxodrome (Rhumb-Line)

Im 16. Jahrhundert hat der flämische Geographe Gerhard Mercator eine Navigationskarte der Erde kreiert, in der die Erdoberfläche als eine Eben dargestellt wurde, damit Winkel auf der Karte nicht verzerrt werden.
Inzwischen wird diese Methode der Erd-Darstellung als Mercator Projektion oder Mercator Zylinderprojektion bezeichnet. Diese Karte war für Seeleute sehr zweckmäßig, da man auf der Mercator Karte eine gerade Linie zwischen Punkt A und Punkt B zeichnen konnte, die Winkel zu den Meridianen messen und sich konstant and diese Richtung halten konnte. Dazu konnte man zum Beispiel ein Sextant und den Polarstern als Orientierungspunkt , oder einen magnetischen Kompass verwenden (obwohl es gar nicht so einfach mit einem Kompass ist, da er nicht immer in den richtigen Norden zeigt).
Die Mercator-Projektion wird heutzutage immer noch häufig für Navigationskarten verwendet.

Selbst altertümliche Seemänner haben gemerkt, dass die Rhumb-Linie nicht immer der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, und dies ist selbstverständlich für lange Distanzen. Wenn man eine Linie auf einen Globus zeichnet und dabei alle Meridiane im gleichen Winkel kreuzt, wird es klar, warum dies der Fall ist. Die gerade Linie auf der Mercator-Karte verwandelt den Globus in eine endlos drehende Spirale um den Globus. Diese Linie wird als Loxodrome bezeichnet, was griechisch für „schiefer Lauf“ ist.
Der folgende Rechner berechnet den Richtungswinkel und die transatlantische Überfahrtdistanz von Las Palmas (Spanien) nach Bridgetown (Barbados) auf der Loxodrome. Die resultierende Distanz unterscheidet sich um Dutzende Kilometer vom kürzesten Weg (siehe Distanz-Rechner).

$\alpha = \arctan \left(\frac{{\Delta}\lambda}{{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_2}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_2}}{1+e\cdot \sin{\varphi_2}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}-{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_1}}{1+e\cdot \sin{\varphi_1}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}}\right)$ ¹
wobei gilt
$\Delta}\lambda = \begin{cases}\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} |\lambda_2-\lambda_1|\leq180\textdegree\\360\textdegree+\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{<}-180\textdegree\\\lambda_2-\lambda_1-360\textdegree &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{>}180\textdegree\end{cases}$ ²
Die Loxodrome-Länge wird mit der folgenden Formel berechnet:
$S=a\cdot\sec\alpha\left[\left(1-\frac{1}{4}e^2\right)\Delta\varphi-\frac{3}{8}e^2(\sin{2\varphi_2}-\sin{2\varphi_1})\right]$ ³

, wobei $\varphi_1,\lambda_1$ - Breitengrad und Längengrad des ersten Punkts
$\varphi_2,\lambda_2$ - Breitengrad und Längengrad des zweiten Punkts
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ -die Exzentrizität des Sphäroids (a – die Länge der großen Hauptachse, b – die Länge der kleinen Halbachse) ist.

Bei einem Winkel von 90° oder 270° benutzt man die folgende Formel zur Berechnung der Bogenlänge
$S=a\cdot|\lambda_2-\lambda_1|\cdot\cos\left(\varphi\right)$

V.S. Mikhailov, Navigation and Pilot book ↩
Noè Murr comment ↩
Miljenko Petrović DIFFERENTIAL EQUATION OF A LOXODROME ON THE SPHEROID ↩

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