Eigenwertsrechner
Dieser Online-Rechner berechnet den Eigenwert einer quadratischen Matrix bis zum 4. Grad durch die Lösung der charakteristischen Gleichung.
Dieser Online-Rechner berechnet den Eigenwert einer quadratischen Matrix bis zum 4. Grad durch die Lösung der charakteristischen Gleichung. Die charakteristische Gleichung ist eine Gleichung, die man durch die Gleichsetzung des charakteristischen Polynoms erhält. Daher benötigt der Rechner zuerst die charakteristische Gleichung mit dem Charakteristischer Polynom Rechner, bevor er sie analytisch löst, um den Eigenwert (entweder reell oder komplex) zu erhalten. Er kann dies nur für 2x2, 3x3 und 4x4 Matrizen unter Verwendung von den Lösung der quartischen Gleichung, Kubische Gleichung und Lösung der quartischen Gleichung Rechnern. Daher kann er den Eigenwert von Matrizen bis 4. Grades finden.
Es ist sehr unwahrscheinlich, dass man ein mathematisches Problem für eine Matrix mit höheren Grad hat, da laut des Satzes von Abel–Ruffini eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist, und daher nur durch ein Zahlenverfahren gelöst werden kann. (Bitte beachten, dass der Grad eines charakteristischen Polynoms der Grad für eine quadratische Matrix ist). Mehr Theorie kann man unter dem Rechner finden.
Eigenwertsrechner
Eigenwert
Eigenwerte kann man leichter mit Eigenvektoren erklären. Nehmen wir mal an, wir haben eine quadratische Matrix A. Diese Matrix definiert eine lineare Transformation. Das bedeutet, wenn man irgendeinen Vektor mit A multipliziert, bekommt man einen neuen Vektor, der die Richtung ändert:
.
Jedoch gibt es einige Vektoren, bei der man mit solch einen Transformation einen Vektor erhält, der parallel zum Originalvektor ist. In anderen Worten:
,
wobei eine Skalarzahl ist.
Diese Vektoren sind Eigenvektoren von A, und diese Zahlen sind Eigenwerte von A.
Diese Gleichung kann man umschreiben als
wobei I die Identitätsmatrix ist.
Da v eine Nicht-Null ist, ist die Matrix Singular. Das bedeutet, dass deren Determinante Null ist.
ist die charakteristische Gleichung von A, und der linke Teil von ihr wird als das charakteristische Polynom von A bezeichnet.
Die Wurzel dieser Gleichung sind die Eigenwerte von A, auch als charakteristische Werte, oder charakteristische Wurzel bezeichnet.
Die charakteristische Gleichung von A ist eine Polynomgleichung, und um die Polynom-Koeffizienten zu erhalten muss man die Determinante der Matrix erweitern
Für den 2x2 Fall gibt es eine einfache Formel:
,
wobei hier trA die Spur von A (Summe deren diagonalen Elemente) ist und detA die Determinante von A ist. Dies ist
,
Für andere Fälle kann man den Satz von Faddeev–LeVerrier verwenden, wie im Charakteristisches Polynom Rechner.
Sobald man die charakteristische Gleichung in Polynomform hat, kann man den Eigenwert berechnen. Und hier kann man eine hervorragende Einführung finden, warum man sich die Mühe machen sollte, Eigenwerte und Eigenvektoren zu finden – und warum sie wichtige Konzepte der linearen Algebra sind.
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