Wahrscheinlichkeit mit Urnenmodell

Wenn man über Wahrscheinlichkeit und Statistik lernt, hört man häufig von dem Urnenmodell der Wahrscheinlichkeitstheorie. Laut Wikipedia ist ein „Gedankenexperiment, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik verwendet wird, um verschiedene Zufallsexperimente auf einheitliche und anschauliche Weise zu modellieren. Dazu wird ein fiktives Gefäß, Urne genannt, mit einer bestimmten Anzahl an Kugeln gefüllt, die anschließend zufällig gezogen werden. Damit ist gemeint, dass bei jedem Zug alle in der Urne befindlichen Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden. Dadurch kann die Bestimmung interessierender Wahrscheinlichkeiten auf die Lösung kombinatorischer Abzählprobleme zurückgeführt werden.“

Sobald man die Idee dahinter versteht, sowie Begriffe wie Permutationen, Kombinationen und Anordnungen, ist das Modell häufig trivial jedoch kann es mühsame Berechnungen benötigen. Der untenstehende Rechner simuliert die Wahrscheinlichkeit einer Urne oder Box, und kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen Ereignissen zu berechnen.
Zur Nutzung einfach eine Konfiguration für die Wahrscheinlichkeitsurne und das Ereignis eingeben. Unter dem Rechner kann man einige Beispiele finden.

Wahrscheinlichkeit mit Urnenmodell



Wahrscheinlichkeits-Urne

	Art	Alias	Menge
				

Ereignis

mit Ersatz

Bedingtes Ereignis ermitteln

Gegebenes Ereignis

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 4

berechnen

Wahrscheinlichkeit vom Ereignisses

 

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Beispiel 1

Problem: Wenn man eine Münze zweimal wirft, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf kommt.

Wie man den Rechner verwendet:

1. Die Option “Standard Daten” in der Tabelle auswählen, den oberen Teil des Kontrollkästchen klicken und dann das “Löschen“ Feld im Tabellenkopf auswählen.
2. Die Urnenkonfiguration hinzufügen. Bitte beachten, dass der schnellster Weg die Option „Import“ Dateien ist. Das „Import“ Icon im Tabellenkopf auswählen und die folgenden Werte eingeben
   Kopf;H;1
Zahl;T;1

3. Das Ereignis definieren. Da man mindestens einmal Kopf benötigt, muss das Ereignis die folgenden elementare Ereignisse haben: Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl. Um das elementaren Ereignis einzugeben, sollte man deren “Aliase” (zweite Spalte in der Tabelle) verwenden. Man muss beachten, das jeder Alias einzigartig sein muss. Um Ereignisse zu kombinierien, sollten Leerzeichen genutzt werden. In diesem Fall sollte man das das „Ereignis“ Feld den folgenden Text eingeben:
   HH,HT,TH
   Bitte keine Leerzeichen verwenden.

4. Die Option “Mit Ersatz” auswählen. Falls ein Objekt ausgesucht und ersetzt wird, bevor das nächste Objekt ausgewählt ist, ist es eine Probe mit Ersatz. Ansonsten ist es eine Probe ohne Ersatz.
   If an object is picked out and then replaced before the next object is selected, this is sampling with replacement. Otherwise, it is sampling without replacement.

Danach erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 0,75.

Beispiel 2

Problem: Falls man nach dem Zufallprinzip zwei Autos nacheinander von einer Lieferung von 200 Autos, von denen 10 einen Defekt haben, wählt, was ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass beide Autos defekt sind?

Wie man den Rechner verwendet:

1. Die Option “Standard Daten” in der Tabelle auswählen, den oberen Teil des Kontrollkästchen klicken und dann das “Löschen“ Feld im Tabellenkopf auswählen.
2. Die Urnenkonfiguration hinzufügen. Bitte beachten, dass der schnellster Weg die Option „Import“ Dateien ist. Das „Import“ Icon im Tabellenkopf auswählen und die folgenden Werte eingeben
   Normal;N;190
Defekt;D;10
3. Das Ereignis definieren. In das „Ereignis“ Feld den folgenden Text eingeben:
   DD
   Bitte keine Leerzeichen verwenden.
4. Die Option “Mit Ersatz” wird nicht ausgewählt.

Danach erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 0,0023.

Beispiel 3

Problem: Eine Box enthält sechs grüne Bälle, vier schwarze Bälle und acht rote Bälle. Zwei Bälle werden ohne Ersatz aus der Box genommen. Was ist die Chance, dass beide Bälle die gleichen Farben haben?

Wie man den Rechner verwendet:

1. Die Option “Standard Daten” in der Tabelle auswählen, den oberen Teil des Kontrollkästchen klicken und dann das “Löschen“ Feld im Tabellenkopf auswählen.
2. Die Urnenkonfiguration hinzufügen. Bitte beachten, dass der schnellste Weg die Option „Import“ Dateien ist. Das „Import“ Icon im Tabellenkopf auswählen und die folgenden Werte eingeben
   Grün;G;6
Schwarz;S;4
Rot;R;8
3. Das Ereignis definieren. In das „Ereignis“ Feld den folgenden Text eingeben:
   SS,RR,GG
   Bitte keine Leerzeichen verwenden.
4. Die Option “Mit Ersatz” wird nicht ausgewählt.

Danach erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 0,3203.

Natürlich kann die Eingabe von Ereignissen für einige Probleme wahrscheinlich umständlich sein und jeder Fehler führt zu einer falschen Warscheinlichkeitsberechnung. Daher sollte man sehr vorsichtig sein, oder die Wahrscheinlichkeit eines kompletten Ereignis berechnen, wie im folgenden Beispiel

Beispiel 4

Problem: Eine Box enthält vier rote Bälle, drei grüne Bälle und zwei gelbe Bälle. Drei Bälle werden ohne Ersatz aus der Box genommen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Farbe nicht gezogen wird?

Wie man den Rechner verwendet:

1. Die Option “Standard Daten” in der Tabelle auswählen, den oberen Teil des Kontrollkästchen klicken und dann das “Löschen“ Feld im Tabellenkopf auswählen.
2. Die Urnenkonfiguration hinzufügen. Bitte beachten, dass der schnellste Weg die Option „Import“ Dateien ist. Das „Import“ Icon im Tabellenkopf auswählen und die folgenden Werte eingeben
   Rot;R;4
Grün;G;3
Gelb;Y;2
3. Das Ereignis definieren. Für dieses Problem ist es besser, die Wahrscheinlicht das ergänzende Ereignis zu berechnen. In das „Ereignis“ Feld sollte man daher den folgenden Text eingeben
   RGY,RYG,GRY,GYR,YRG,YGR
   Bitte keine Leerzeichen verwenden.
4. Die Option “Mit Ersatz” wird nicht ausgewählt.

Danach erhält man eine Wahrscheinlichkeit für das ergänzende Ereignis 0,2857, daher ist die Antwort 0,7143.

Dieser Rechner kann auch für die Berechnung von bedingten Ereignissen verwendet werden. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A, falls Ereignis B aufgetreten ist, wird definiert als
,
falls gegeben ist.

Beispiel 5

Problem: Eine Schublade enthält sechs schwarze, acht rote und vier weiße Socken. Zwei Socken werden zufälligerweise aus der Schublade genommen. Wenn man weiß, dass diese beide Socken die gleichen Farben haben, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Farbe Weiß ist.

Wie man den Rechner verwendet:

1. Die Option “Standard Daten” in der Tabelle auswählen, den oberen Teil des Kontrollkästchen klicken und dann das “Löschen“ Feld im Tabellenkopf auswählen.
2. Die Urnenkonfiguration hinzufügen. Bitte beachten, dass der schnellste Weg die Option „Import“ Dateien ist. Das „Import“ Icon im Tabellenkopf auswählen und die folgenden Werte eingeben
   Schwarz;S;6
Rot;R;8
Weiß;W;4
3. Das Ereignis definieren. In das „Ereignis“ Feld den folgenden Text eingeben:
   WW
   Bitte keine Leerzeichen verwenden.
4. Die Option “Mit Ersatz” wird nicht ausgewählt.
5. Die Option "Bedingte Wahrscheinlichkeit finden" auswählen
6. In das „gegebene Ereignis“ Feld den folgenden Text eingeben:
   WW,RR,SS

Danach erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 0,1224.