Online-Rechner: Komplexe Zahlen

Seit dem Beginn des 16. Jahrhunderts sind Mathematiker der Notwendigkeit von speziellen Zahlen ausgesetzt, die heutzutage als komplexe Zahlen bekannt sind. Die komplexe Zahl ist eine Zahl im Format a+bi, wobei a,b reelle Zahlen sind, und i eine imaginäre Einheit für die Lösung der Gleichung : i²=-1 ist.

Es ist interessant, die Entwicklung der mathematischen Meinungen zu dem komplexen Zahlenproblemen zu verfolgen. Hier sind einige Zitate aus Werken aus alten Werken zu diesem Thema:

1. Jahrhundert: So schreitet die arithmetische Subtilität am Ende voran, wie...es so raffiniert wie es nutzlos ist. ¹
1. Jahrhundert: Dieses Wunder der Analyse, dieses Wunder der Welt der Ideen, ein fast amphibisches Objekt zwischen Sein und Nichtsein, das wir die imaginäre Zahl nenn. ²
1. Jahrhundert: Quadratwurzeln von negativen Zahlen sind nicht gleich Null, sie sind nicht kleiner als Null, sie sind nicht größer als Null. Die Quadratwurzeln von negativen Zahlen können nicht zu den reellen Zahlen gehören, sie sind also „unwirkliche Zahlen“. Dieser Umstand bring uns zum Denken über diese Zahlen, die von Natur aus unmöglich sine and normalerweise als imaginär bezeichnet werden, dass sie nur im Kopf vorstellbar sind.³
1. Jahrhundert: Niemand stellt die Genauigkeit des Ergebnisses, welches wir durch die Berechnung von imaginären Größen erhalten, in Frage, obwohl es sich nur um algebraische Formen handelt, und die Hieroglyphen unwirklicher Größen. ⁴

Es werden verschiedene Möglichkeiten zur Definition von komplexen Zahlen verwendet. Wir zeigen drei davon zeigen.

Algebraische Form

$z = a + bi$ ,
Wobei a und b - reelle Zahlen sind, i – imaginäre Einheit, so dass i²=-1. a – entspricht dem Realteil, b – imaginärer Teil.

Polarform

$z = r (\cos \vaphi +i \sin \varphi)$ ,
wobei r – Absolutwert der komplexen Zahl ist:
$r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}$
ist ein Abstand zwischen Punkt 0 und ein Punkt auf der komplexen Ebene, und φ ist ein Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem komplexen Vektor (Argument).

Exponentenfrom (Euler Identität)

$z = r e^{i\varphi}$ ist eine vereinfachte Version der Polarform, die der eulerschen Formel folgt.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahl

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2

In der Polarform

in eulerscher Identität

Komplexe Zahl

Absolutwert

Argument-Hauptwert (Radius)

Argument-Hauptwert (Grad)

Konjugation

komplexe Ebene

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Das Argument einer komplexen Zahl ist eine mehrwertige Funktion: $arg(z)=\varphi+2\pi{k}$ , für die Ganzzahl k. Der Hauptwert des Arguments ist ein einzelner Wert in der offenen Periode (-π..π].

Den Hauptwert kann man mit der folgenden Formal von einer algebraischen Form her berechnen:
$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ und }}y\geq 0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ und }}y<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ und }}y>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ und }}y<0\\{\text{unbestimmt }}&{\text{if }}x=0{\text{ und }}y=0.\end{cases}}$
Dieser Algorithmus wird in dem Java Skript-Funktion Math.atan2 genutzt.

Alle arithmetischen Elementaroperationen sind für komplexe Zahlen bestimmt:

Elementaroperationen für komplexe Zahlen

Zahl 1 (z1)

Operation

Zahl 2 (z2)

Exponent

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2

Ergebnis (z)

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Addition von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl kann man wie Polynome zu einer anderen addiert werden:
$z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

Multiplikation von komplexen Zahlen

Mit der Definition von komplexen Zahlen i*i=-1, kann man leicht die Multiplikationsformel für komplexe Zahlen erarbeiten:
$z_1 \dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i$

Dividieren von komplexen Zahlen

Um die Divisionsformel für komplexe Zahlen abzuleiten, muss man sowohl Zähler als auch den Nenner mit der Konjugation der komplexen Zahl multiplizieren (um die imaginäre Einheit im Nenner zu eliminieren):
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{{z_1}\overline {z_2}}{{z_2}\overline {z_2}}$
Konjugation wird wie folgt definiert:
$\overline z = a-b i$
Die finale Formel der Division ist daher:
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i$

Potenzierungn von komplexen Zahlen

Mit eulerschen Formel sieht dies relative einfach aus:
$z^n=r^ne^{{i}{n}\phi}$
Diese Formel ist von dem Moivreschen Satz abgeleitet:
${\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

Wurzel des n-te Grades

Aus dem Moivreschen Satz N sind die n-te Wurzeln von z (die Potenz von 1/n) gegeben durch:
$\sqrt[n]{z} = r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)$ ,
es sind n Wurzeln, wobei k = 0..n-1 - ein ganzzahliger Wurzelindex. Die Wurzeln können in der komplexen Ebene als rechte Polygonscheitelpunkt dargestellt werden.

G. Cardano, Die große Kunst oder das Buch von den algebraischen Regeln, (1539) ↩
G. Leibniz, (laut Wikipedia) ↩
L. Euler, Universelle Arithmetik, (1768) § 142-143 ↩
L. Carnot, Reflexionen über die metaphysischen Prinzipien der Infinitesimalanalyse (1797) Tr. von W.R. Brownell S. 104 ↩

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