Rationale Zahl als Bruch
This online calculator writes the rational number as a fraction (the ratio of two integers), using the formula of infinite geometric sequence.
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Stefan Roesner
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Wenn man anfängt, die geometrischen Reihen zu lernen, erkennt man eventuell das folgende Problem:
Gebe die rationale Zahl 0.58333... als Verhältnis von zwei Ganzzahlen an.
In diesem Beispiel wird gefragt, eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln. Für die Lösung wird die Formel für die unendliche geometrische Reihe benötigt. Dieser Rechner verwendet diese Formel, um den Nenner und Zähler für die angegebene Dezimalzahl zu finden. Die Lösung und die Formel kann man unter dem Rechner finden.
Bitte beachten Sie, dass die periodische Dezimalzahl durch eine informelle Ellipse (drei Perioden…). Es gibt eigentlich mehrere Notationsmöglichkeiten, um widerholende Dezimalstellen darzustellen, aber keine von denen aber keine universell akzeptiert sind. In den US, z.B., ist die Notation eine horizontale Linie (ein Vinculum) über den wiederholenden Ziffern. Und in einigen Teilen Europas werden die wiederholenden Ziffern in Klammern gesetzt. Dieser Rechner bietet zwei Notationen an, um die periodische Dezimalzahl darzustellen: 0.58333... and 0.58(3).
Eine rationale Zahl als Verhältnis zu zwei Ganzzahlen
Periodische Dezimalzahlen
Auf der englischen Wikipedia Seite 1 wird eine wiederholende oder wiederkehrende Dezimalzahl als eine Dezimaldarstellung einer Zahl definiert, deren Ziffern periodisch sind (deren Werte in einem regulären Intervall wiederholt werden) und der unendlich wiederholende Teil keine Null ist. Die unendliche Ziffer-Reihe wird auch Periode genannt. Man kann zeigen, dass eine Zahl rational ist, und nur dann, wenn eine Dezimaldarstellung wiederholenden oder beendet ist. Und eine rationale Zahl, laut deren Definition, ist jede Zahl, die als Quotient oder Bruch p/q von zwei Ganzzahlen (Zähler p und ein nicht-Null Nenner q) dargestellt werden kann.
Wenn wir eine beendete Dezimalstelle haben, können wir Umwndlung von Bruch in eine Dezimalzahl und Dezimalzahl in eien Bruch verwenden. Im Falle einer periodischen Dezimalzahl wird es ein wenig schwieriger. Dafür benötigen wir eine geometrische Reihe. Nehmen wir mal das obige Beispiel und wandeln die rationale Zahl (wir wissen das diese rational ist, da sich die Dezimalstellen wiederholen) 0.58333... mit unserem Wissen über die geometrische Reihe in einen Bruch.
Stellen wir die rationale Zahl mal folgendermaßen dar:
Die Zahl , etc. kann man sich als ein Term einer geometrischen Reihe vorstellen, wo der erste Term0.003 ist, and das allgemeine Verhältnis 0.1 ist.
Und laut der Formel für den n.-Term für die geometrische Reihe : , haben wir
Bitte beachten Sie, dass dies die Terme für die geometrische Reihe sind, die sich konvergieren, da der absolute Wert vom allgemeinen Verhältnis weniger als Null ist. Die Summe für die konvergierte, unendliche Reihe ist
Daher haben wir für unser Problem
Und schließlich,
Man kann dann hinzufügen und vereinfachen, da wir wissen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 300 die 300 ist, und der größte gemeinsame Teiler von 175 und 300 die 25 ist.
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