Euler Verfahren
Dieser Online-Rechner führt das Euler Verfahren durch, welche ist eine eine numerisches Verfahren der 1. Ordnung ist, mit der man eine Differentialgleichen des 1. Grades anhand eines gegebenen Anfangswert.
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Stefan Roesner
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Mit diesem Rechner kann man mit dem Euler-Verfahren die Differentialgleichung des 1. Grades anhand eines gegebenen Anfangswertes berechnen.
Um dieses Verfahren zu nutzen, sollte man eine Differentialgleichung in der folgenden Form haben
Man bringt die rechte Seite der Gleichung f(x,y) in das y' Feld unten.
Man benötigt auch den Anfangswert als
und den Punkt , für den man den
Wert approximieren möchte.
Der letzte Parameter dieses Verfahren – eine Schrittgröße – ist wirklich ein Schritt entlang der Tangentenlinie, um die nächste Approximation der Funktionskurve zu berechnen.
Die Beschreibung des Verfahrens kann man unter dem Rechner finden.
Euler Verfahren
Euler Verfahren
Nimmt man das folgende mal an:
Wenn man dann
berechnet, findet man die Ableitung y' am Anfangspunkt.
Für ausreichend kleine , kann man den nächsten Wert von y approximieren als
Oder, kürzer
Und im generellen Fall
Man berechnet dann die nächsten y Werte unter Verwendung dieser Beziehung bis man den Zielpunkt x erreicht.
Das ist die Essenz des Euler Verfahren. ist die Schrittgröße. Den Fehler für jeden Schritt (lokaler Kürzungsfehler) ist ungefähr proportional zu dem Quadrat der Schrittgröße, daher ist das Euler Verfahren genauer, wenn die Schrittgröße kleiner ist. Jedoch ist der globale Kürzungsfehler der kumulative Effekt der lokalen Kürzungsfehler, und ist proportional zu der Schrittgröße. Und das ist der Grund, warum man sagt, dass das Euler Verfahren ein Verfahren des 1. Grades ist.
Kompliziertere Verfahren können einen höheren Grad (und mehr Genauigkeit) erzielen. Eine Möglichkeit ist, mehr Funktionsbewertungen zu nutzen. Dies wird in der Mittelpunktmethode dargestellt.
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