Online-Rechner: Mittelpunktmethode

Mit diesem Rechner kann man Differentialgleichung ersten Grades mit einem gegebenen Wert unter Verwendung explizierte Mittelpunktmethode, auch als modifiziert lösen Eulersche Verfahren.

Um die Methode zu nutzen, sollte man eine Differentialgleichung in der folgenden Formel haben:
$y \prime = f(x,y)$
und die rechte Seite der Gleichung f(x,y) in das Feld y' unten eingeben

Man benötigt auch den initialen Wert als
$y(x_0)=y_0$
und den Punkt $x$ , für den man den $y$ Wert annähern möchte.

Der letzte Parameter für eine Schrittweite-Methode ist ein Schritt entlang der Tangent, um die sukzessive Approximation einer Funktionskurve zu berechnen

Wenn man die genaue Lage einer Differentialfunktion im Format y=f(x) weiß, kann man diese auch eingeben. In diesem Fall kann der Rechner dann auch Lösung mit der Approximation auf dem Graphen einzeichnen, und den absoluten Fehler für jeden Approximationsschritt berechnen.

Die Beschreibung der Methode kann man unter dem Rechner finden.

Mittelpunktmethode

Initiale x

Initiale y

Näherungspunkt

Größe des Schritts

Genaue Lösung (optional)

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2

Differentialsgleichung

Näherungswert von y

Approximation

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Mittelpunktmethode

Wie auch für Euler Verfahren, nutzt man die Beziehung
$y_{i+1}=y_i + f \Delta x$ ,

aber man berechnet f anders. Anstatt die Tangente von dem derzeitigen Punkt zu verwenden, um zum nächsten Punkt zu gelangen, verwendet man die Tangente am Mittelpunkt, welche der ungefähre Wert der Ableitung vom Mittelpunkt zwischen dem derzeitigen und dem nächsten Punkt ist. Dazu approximiert man den Wert y am Mittelpunkt als
$y_n+\frac{\Delta x}{2}f(x_n, y_n)$

Und die Beziehung ändert sich von
$y_{i+1}=y_i + f(x_i,y_i) \Delta x$

$y_{i+1}=y_i + f(x_i+\frac{\Delta x}{2}, y_i+\frac{\Delta x}{2}f(x_i, y_i)) \Delta x$

Der lokale Fehler bei jedem Schritt der Mittelpunktmethode ist von der Ordnung $O\left(h^3\right)$ , ergibt dann einen globalen Fehler der Ordnung $O\left(h^2\right)$ . Obwohl die Mittelpunktmethode rechenintensiver als das Eulersche Verfahren ist, nimmt der Fehler in dieser Methode schneller ab als $h \to 0$ .¹