Umwandlung von Bruchzahlen zwischen Zahlensystemen
Dieser Onlinerechner hilft, eine Bruchzahl aus einem Zahlensystem in eine Bruchzahl aus einem anderen Zahlensystem umzuwandeln.
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 | Timur
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Stefan Roesner
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Nachdem ich einige Rechner für die Umwandlung von Zahlensystemen erstellt habe (von den einfachsten bis zu den fortgeschrittenen Unwandlungen von Dezimalzahlen in anderen Notationen, Umwandlung vom Dezimalzahlensystem, Unwandlungen zwischen beliebigen Basen), haben mich Nutzer häufig gefragt: Was sollen wir mit Bruchzahlen machen, wie kann man diese umwandeln? Ich habe mich daher entschieden, einen anderen Rechner zu erstellen, mit dem man Bruchzahlen zwischen Zahlensystemen umwandeln kann.
Wie immer habe ich einige Theorien unter dem Rechner beigefügt.
Umwandlung von Bruchzahlen zwischen Zahlensystemen
Ich habe immer gedacht, dass die Frage nach der Umwandlung von Bruchzahlen eine schwierige ist. Aber es hast sich herausgestellt, dass sie leicht zu verstehen ist. Man muss sich nur daran erinnern, dass wir es mit einem Stellenwertsystem zu tuen haben.
Lasst mich dies anhand eines Beispiels zeigen. Nehmen wir mal die Dezimalzahl 6,125. Man kann sie folgenderweise schreiben:
Einfach zu folgen, oder? Aber dies ist das gleiche für jedes andere Stellenwertsystem. Nehmen wir zum Beispiel das berüchtigte Binärsystem und die binäre Bruchzahl 110,001. Man kann sie folgenderweise schreiben:
Ja, ich habe es geschafft. Die Binäarzahl 110.001 ist die Dezimalzahl 6.125. Sollte es nicht so einfach sein?
Aber es gibt eine Einschränkung. Da wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern haben, können wir nicht immer die gleiche Präzision mit verschiedenen Zahlensystemen beibehalten.
Ich kann dies mit einem anderen Beispiel zeigen. Nehmen wir mal die Dezimalzal 0,8
.
Alles sieht gut aus – für das Dezimalzahlensystem. Aber für das Binärzahlensystem habe wir ein Problem, wie man hier sehen kann:
Wir könnten weitermachen, aber man jetzt schon sehen, dass die Dezimalzahl 0,8 die Binärzahö 0,11001100… (und viele weiter Ziffern) ist. Aber da es eine periodische Zahl mit Periode 1100 ist, werden wir niemals die genaue Zahl von binären Ziffern für 0,8 erhalten. Sie ist 1100 bis zur Unendlichkeit.
Dies ist der Grund warum die Umwandlung von Bruchzahlen häufig einen Umwandlungsfehler anzeigt. Der Fehler hängt von der Anzahl von Ziffern ab, die wir nach dem Komma wählen. Nehmen wir zum Beispiel die Dezimalzahl 0,8 und wandeln sie in eine Binärzahl mit den ersten 6 Ziffern nach dem Komma. Das Ergebnis wird 0,110011 sein. Aber dies ist nicht die genaue Dezimalzahl 0,8, es ist tatsächlich 0,796875, ein Unterschied von 0,003125. Und dies ist unser Fehler nach der Umwandlung von der Dezimalzahl 0,8 in eine Binärzahl mit 6 Ziffern nach dem Komma.
Der Wert der letzten Ziffer von rechts wird als Auflösung oder Präzision bezeichnet, und bestimmt die kleinstmögliche Zahl ungleich Null, die mit dieser Anzahl von Ziffern geschrieben werden kann. In unserem Beispiel ist es . Und der maximal möglichste Umwandlungsfehler in diesem Fall ist die Hälfte von dem Wert, oder 0,0078125. Beachtet man dies, ist der Umwandlungsfehler von 0,8 den wir erhalten haben nicht schlecht im Verhältnis zum maximal möglichen Fehler
Das fasst alle wichtige Punkte zusammen.
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