Lagrangepolynom Rechner
Dieser Online-Rechner erstellt ein Lagrangepolynom anhand eines gegebenen Satzes von Punkten, zeigt die Lösung Schitt-für-Schritt an and zeigt das Lagrangepolnyom sowie deren Basispolynome auf einem Diagramm an. Er kann auch zusätzliche Punkte, falls vorhanden, interpolieren.
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Dieser Rechner wurde erstellt, um die Lösungen für das Lagrange-Interpolationsproblem zu bestätigen. In diesen Problemen wird häufig gefragt, den Wert einer unbekannten Funktion, die einem bestimmten Wert x entspricht, zu interpolieren. Dafür nutzt man Lagrange’s Interpolationsformel anhand eines gegebenen Datensatzes, welches ein Satz von den Punkten x, f(x) ist.
Der untenstehende Rechner kann bei den folgenden Punkten helfen:
- Er findet die Lagrangepolynom-Formel für einen gegebenen Datensatz
- Er zeigt die schrittweise Ableitung der Formel.
- Er interpoliert die unbekannte Funktion durch die Berechnung des Wertes eines Lagrangepolynoms für die gegebenen x Werte (Interpolationspunkte)
- Er zeigt den Datensatz, interpolierte Punkte, das Lagrangepolynom und deren Basispolynome in einem Diagramm an.
Verwendung
Zuerst muss man die Datenpunkte eingeben, ein Punkt für jede Line im Format x f(x), getrennt durch Leerzeichen. Falls man die Funktion mit dem Lagrangepolynom interpolieren möchte, muss man die Interpolationspunkte als x Werte eingeben, getrennt durch Leerzeichen.
Standardmäßig zeigt der Rechner die Endformel und die Interpolationspunkte an. Falls man auch die schrittweise Lösung für die Polynomformel sehen möchte, wählt man einfach die Option „Schrittweise Lösung anzeigen“ aus. Das Diagramm am unteren Ende zeigt das Lagrangepolynom sowie deren Basispolynome an. Diese Option kann man ausschalten.
Ein wenig Theorie vom Lagrangepolynom kann man unter dem Rechner finden.
Lagrangepolynom Rechner
Lagrangepolynom
Nehmen wir mal an, dass wir einen Satz von Datenpunkten für eine unbekannte Funktion haben, bei der keine zwei x gleich sind:
Nun erstellen wir das folgende Polynom (auch als Lagrangepolynom bezeichnet):
wobei das Lagrange Basispolynom ist.
Wenn man sich die Formel für das Basispolynom für jedes j anschaut, sieht man, dass für alle Punkte i, die nicht gleich j sind, das Basispolynom für j Null ist. Und im Punkt j ist das Basispolynom für j Eins.
Das ist
und
was bedeutet, dass das Lagrangepolynom die Funktion exakt interpoliert.
Man sollte aber beachten, dass die Lagrange Interpolationsformel anfällig für das Runge-Phänomen ist. Dies ist ein Oszillationsproblem an Rändern eines Intervalls, wenn man Polynomen eines hohen Grades über einen Satz von äquidistanten Interpolationspunkten verwendet. Es ist wichtig das zu beachten, da dies bedeutet, dass die Verwendung von höheren Graden (z.B. mehr Punkte in einem Satz haben) nicht immer die Genauigkeit der Interpolation verbessert.
Jedoch sollte man auch beachten, dass im Gegensatz zu einigen anderen Interpolationsformeln die Langrage-Formel nicht erfordert, dass die Werte von x nicht äquidistant sein müssen. Es wird in einigen Techniken zur Problemminderung verwendet, wie der Änderung von Interpolationspunkten bei der Verwendung der Chebyshew-Knoten.
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