Online-Rechner: Kubische Gleichung

Kubische Gleichung

Dieser Rechner erstellt die Lösung einer kubischen Gleichung mit dem Satz von Vieta

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Erstellt: 2020-10-23 11:50:57, Letzte Aktualisierung: 2020-11-03 14:19:41

Die kanonische Form der kubischen Gleichung ist
$ax^3+bx^2+cx+d=0$

Der Satz von Vieta wird genutzt, um die Gleichung wie folgt zu lösen
$x^3+ax^2+bx+c=0$
daher ist der erste Schritt, alle Koeffizienten durch “a” zu dividieren.

Hier ist der Rechner, gefolgt von der Beschreibung der Berechnung mit dem Satz von Vitae.

Kubische Gleichung

Koeffizient aA

Koeffizient B

Koeffizient C

Koeffizient D

Details anzeigen

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2

Die einzige Quelle, die ich für kubische Gleichungen zugeschnittenen Satz des Vieta gefunden habe, ist hier

Zuerst berechnen wir
$Q=\frac{a^2-3b}{9}$
$R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}$

Dann
$S=Q^3-R^2$

Wenn S > 0 ist, dann folgt
$\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)$
und wir haben dreie reelle Wurzeln:

$x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}$
$x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$
$x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$

Wenn S < 0 ist, wird die trigonometrische Funktion mit einer hyperbolischen Funktion ersetzt. Je nach dem Vorzeichen von Q
Q > 0:
$\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)$
$x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}$
(reelle Wurzel)
$x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)$
(zwei komplexe Wurzeln)

Q < 0:

$\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)$
$x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}$
(reelle Wurzel)
$x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)$
(zwei komplexe Wurzeln)