Fixpunktiteration
Dieser Onlinerechner berechnet die Fixpunkte einer Iterationsfunktion mit der Fixpunktiteration (Methode zur sukzessiven Approximation).
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 | Timur
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Stefan Roesner
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Im Zahlensystem ist die Fixpunktiteration ein Verfahren, um die fixen Punkte einer Iterationsfunktion zu berechnen.
Genauer gesagt, mit der gegebenen Funktion , definiert mit reellen Zahlen und reellen Werten, und dem gegebenen Punkt
in der Domain von
, ist die Fixpunktiteration
welche zu einer Reihe führt, welche hoffentlich zu einem Punkt
konvergiert. Wenn
stetig ist, dann kann man beweisen das der erhaltene
ein Fixpunkt von
ist, z.B.,
.
Dieses Verfahren ist eigentlich eine Art von sukzessiver Approximation, ein Verfahren zum Lösen von mathematischen Problemen. In solch einem Verfahren wird eine Reihe von Approximation durchgeführt, die zur Lösung hin konvergiert und rekursiv konstruiert wird. Dies bedeutet, dass jede neue Approximation anhand der vorherigen Approximation berechnet wird. Die Wahl der ersten Approximation ist zu einem gewissen Grad hin willkürlich. Dieses Verfahren wird zur Approximation der Wurzel für algebraische und transzendenten Gleichungen genutzt. Es wird auch verwendet, um Existenz einer Lösung zu beweisen, und um die Lösung einer Differential-, Integral- und Integro-Differentialgleichung durch Approximation zu erhalten.
Diese Methode kann sehr leicht genutzt werden:
- Annahme eines ungefähren Werts der Variablen (Anfangswert)
- Variable lösen
- Die Lösung für einen zweiten ungefähren Werts nutzen und die Gleichung wieder lösen
- Wiederholung dieser Prozedur und die erwünschte Präzession für die Variable zu erhalten.
Dies ist genau das, was der untenstehende Rechner macht. Er macht iterative Berechnungen von x mit der angegebenen Formel und hört erst auf, wenn die Differenz von zwei sukzessiven Werten niedriger ist als die angegebene Präzision.
Es sollte auch erwähnt werden, dass die Formel für das Beispiel
,
Die Iterationsfunktion zur Berechnung von der Quadratwurzel A ist. Dies ist wohl der erste Algorithmus, der für die Approximation einer Quadratwurzel genutzt wird – auch als Babylonische Wurzelziehen bekannt. Dieses Verfahren ist nach den Babyloniern benannt, oder nach dem Herons Verfahren, das wiederum nach dem griechischen Mathematiker aus dem 1. Jahrhundert, Hero von Alexandria benannt wurde, der als erstes die genaue Beschreibung dieser Methode geliefert hat.
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