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Gaußsches Eliminationsverfahren

Dieser Rechner löst lineare Gleichungssystem mit der Verwendung von der reduzierten Stufenform (Gaußsche Eliminierungsverfahren). Der Rechner zeigt auch die schrittweise Lösungsbeschreibung an.

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Anton

SR

Stefan Roesner

Erstellt: 2020-10-28 06:21:05, Letzte Aktualisierung: 2020-11-03 14:19:41

Das System von linearen Gleichungen
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}
kann mit Hilfe unseres Rechners mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren gelöst werden.

In dem Gaußschen Eliminierungsverfahren ist das lineare Gleichungssystem als eine erweiterte Matrix dargestellt, das heißt die Matrix beinhaltet den Gleichungskoeffizienten a_{ij} und die konstanten Bedingungen b_i mit den Dimensionen [n:n+1]:
\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_n\\ \end{array}

PLANETCALC, Gaußsches Eliminationsverfahren

Gaußsches Eliminationsverfahren

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2
Anzahl von Lösungen
 
Lösungsvektor
 
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Gaußschen Eliminierungsverfahren

Dieses Verfahren ist nach Carl Friedrich Gauß benannt, dem deutschen Mathematiker aus dem 19. Jahrhundert. Gauß hat dieses Verfahren nicht selber entwickelt. Die reduzierte Stufenform war den alten chinesischen Mathematikern bekannt, wie es bereits in dem mathematischen Buch aus dem 2. Jahrhunder, Neun Kapiteln der Rechenkunst, beschrieben wurde.

Vorwärtselimination

Der erste Schritt des Gaußschen Eliminierungsverfahren ist es eine reduzierte Zeilenstufenform zu erhalten. Der untere linke Teil dieser Matrix besteht nur aus Nullen, und alle Nullzeilen sind unterhalb der Nichtnullzeilen:
\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & \beta_1\\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} & \beta_n\\ \end{array}

Die Matrix wird durch elementare Zeilenoperationen verringert: vertausche 2 Zeilen, multipliziere eine Zahl mit einer Konstanten, addiere zu einer Zeile das Vielfache einer anderen.
Unsere Rechner erhält die Stufenform durch die sequenzielle Subtraktion von den oberen Zeilen A_i, multipliziert bei {a_{ji}} von den unteren Zeilen A_j , multipliziert bei {a_{ii}}, wobei i – Zeilenführer (Pivotzeile).

Es ist wichtig den Nichtnullen-Zeilenführer zu erhalten. Sollte dieser Null werden, wird die Zeile mit einer niedrigeren Zeile mit einem Nichtnull Koeffizienten in der selben Stelle vertauscht.

Rückwärtseinsetzen

In dieser Phase werden die elementaren Zeilenoperation fortgesetzt, bis eine Lösung gefunden wird. Schließlich ist die Matrix in ein in der reduzierten Stufenform:
\begin{array}{|cccc|c|} 1 & 0 & ... & 0 & \beta_1\\ 0 & 1 & \vdots & 0 & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \beta_n\\ \end{array} ,

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