Sekanten-Verfahren

Das Sekanten-Verfahren ist ein Algorithmus zur Wurzel-Findung, welches die Folgen von Wurzeln von Sekantengeraden verwendet, um eine bessere Näherung einer Wurzel einer Funktion F zu erhalten.

Eine kurze Beschreibung des Sekanten-Verfahren kann man unter dem Rechner finden.

PLANETCALC, Sekanten-Verfahren

Sekanten-Verfahren

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 4
Formel
 
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x
 

Secans-Verfahren

Das Sekanten-Verfahren kann man sich als endliche-Differenznäherung des Newton Verfahren, wobei die Ableitung durch eine Sekanten-Gerade ersetzt wird.
Wir verwenden die Wurzel einer Sekanten-Gerade (der Wert von X, der y=0 ergibt) als Wurzelnäherung für die Funktion f.

Nehmen wir mal an, dass wir die Anfangswerte x0 und y1 mit den Funktionswerten f(x0) und f(x1) haben. Die Sekanten-Gerade hat dann die Gleichung

\frac{y - f(x_1)}{f(x_1)-f(x_0)}=\frac{x - x_1}{x_1-x_0}

Die Wurzel von der Sekanten-Geraden (mit y=0) ist

x = x_1 - \frac{x_1 - x_0}{f(x_1)-f(x_0)}f(x_1)

Dies ist eine Iterationsvorschrift Sekanten-Verfahren. Eine graphische Darstellung kann man hier sehen

640px_1.png

Quelle

Für das Sekanten-Verfahren muss man die Wurzelreste nicht einklammern, wie es für das Halbierungsverfahren benötigt wird (siehe unten), und wird daher nicht immer konvergiert.

640px_2.png

Quelle

Wie man an der Iterationsvorschrift sehen kann, benötigt das Sekanten-Verfahren zwei Anfangswerte, x0 und x1, die am besten nah an der Wurzel liegen sollten.
Die Toleranzgrenze kann einer der folgenden Möglichkeiten sein:

f(x_k)< \epsilon — Funktionswert ist niedriger also ε.

\left|x_k-x_{k-1}\right| < \epsilon — die Differenz zwischen den beiden anschließenden xk ist niedriger als ε.

Mehr: Sekantenverfahren

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PLANETCALC, Sekanten-Verfahren

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