Bisektionsverfahren

Dies ist ein Rechner, der eine Funktionswurzel mit dem Bisektionsverfahren, oder auch als Intervallhalbierungsverfahren bezeichnet, findet. Eine kurze Erklärung dieses Verfahrens kann man unter dem Rechner finden.

Bisektionsverfahren

Funktion

Anfangswert x0

Anfangswert x1

Erwünschte Toleranz

Abweichungsart

Endpunkt der Konvergenz

Funktion der Konvergenz

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 4

berechnen

Formel

 

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Bisektionsverfahren

Dieses Verfahren basiert auf den Zwischenwertsatz für weiterführende Funktionen. Dieser sagt, dass jede weiterführende Funktion f (x) in dem Intervall [a,b], welches f (a) * f (b) < 0 erfüllt, eine Null im Intervall [a,b] haben muss.
Verfahren, die diesen Satz verwenden, werden als Dichotomie bezeichnet, da Sie ein Intervall in 2 Teile teilt (welche nicht unbedingt gleich groß sein müssen).

Wir haben bereits Falsche-Positions-Verfahren and Sekanten-Verfahren, erklärt, nun kümmern wir uns um das einfachste Verfahren – die Bisektion, auch als Intervallhalbierungsverfahren bekannt. Wie Sie am Namen erraten können, nutzt dieses Verfahren die Division von Intervallen in zwei gleich-große Teile.

Es nutzt die folgende Beziehung

Das Intervall wird entweder mit oder ersetzt, es kommt auf das Zeichen von an. Dieser Prozess wiederholt sich, bis man eine Null erhält. Da man die Null numerisch erhält, muss der Wert von C nicht unbedingt mit alles Dezimalstellen von der Analyse-Lösung von f(x) = 0 mit dem gegeben Intervall übereinstimmen. Daher kann man die Bisektion-Iterationen folgendermaßen beenden:

— der Funktionswert ist niedriger als ε.

— die Differenz zwischen den zwei aufeinanderfolgenden хk ist niedriger als ε. Bittre beachten Sie, da die Intervalle in jedem Schritt halbiert werden, kann man die benötigte Anzahl von Iterationen berechnen.
Der absolute Fehler wird in jedem Schritt halbiert, daher konvergiert dieses Verfahren linear, was relativ langsam ist.

Wie man an der wiederholenden Beziehung sehen kann, benötigt das Falsche-Positions-Verfahren zwei Anfangswerte, x0 and x1, welche die Wurzel einklammern sollte.

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