Online-Rechner: Erdradius nach Breitengrad (WGS 84)

Der untenstehende Rechner berechnet den Erdradius eines gegebenen Breitengrades. Er berechnet eigentlich den Radius des WGS 84 Referenzellipsoid eines gegebenen Breitengrades. Wenn man ein wenig mehr Theorie erfahren möchte, findet man dies unter dem Rechner.

Erdradius nach Breitengrad (WGS 84)

Breitengrad

′

″

Präzesionsberechnung

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 3

Radius (km)

Erdradius

Da die Erde an den Polen abgeflacht ist und sich am Äquator wölbt, repräsentiert die Geodäsie die Form der Erde als eine abgeplattete Sphäre. Die abgeplattete Sphäre, oder abgeflachte Ellipsoid, ist ein Rotationsellipsoid, die man durch das Drehen einer Ellipse um die kürzere Achse erhält. Es ist eine geometrische Form, die am ehesten die Form der Erde darstellt. Ein Sphäroid, das die Erde oder andere Himmelskörper beschreibt, nennt man Referenzellipsoid. Das Referenzellipsoid der Erde wird als Erdellipsoid bezeichnet.

Die physische Oberfläche der Erde ist irregulär. Diese kann man durch das Geoid approximieren, welches ein wichtiges Konzept für mehr als zwei Jahrhunderte in der Geschichte der Geodäsie und Geophysik. Laut Gauß, der dies als erstes beschrieben hat, ist es die „mathematische Figur der Erde“, eine glatte, aber sehr unregelmäßige Oberfläche, deren From sich aus der ungleichmäßigen Massenverteilung innerhalb und auf der Erdoberfläche ergibt. Die Geoid-Oberfläche ist irregulär, but wesentlich glatter als die physikalische Oberfläche der Erde.

Wegen der relativen Einfachheit werden Referenzellipsoide als bevorzugte Oberfläche für geodätische Netzberechnungen, in denen Punktkoordinaten wir Längengrad, Breitengrade oder Erhöhungen angegebenen sind, verwendet. Die zur Zeit am häufigste genutzte Referenzellipsoid, welches auch für GPS verwendet wird, ist die, die durch WGS 84 definiert wird.

Zwei Größen definieren eindeutig ein Rotationsellipsoid. In der Geodäsie werden die mehrere Konventionen zum Ausdrücken der beiden Größen verwendet, aber alle sind äquivalent und können miteinander umgetauscht werden:

Äquatorialer Radius a (Semi-Major Achse genannt), and polarer Radius b (Semi-Minor Ache genannt);
a und Exzentrizität e;
a und Abflachung f.

WGS 84 definiert Ellipsoid Parameter also:
Semi-Major Achse a = 6378137.0 Meter
Semi-Minor Achse b = 6356752.3142 Meter

Ein Punkt auf dem Ellipsoid-Oberfläche kann man durch die parametrische Kurvengleichung ermitteln
$(x,y)=(a \, cos(t), b \, sin(t))$

Der Radius kann durch den Satz des Pythagoras gefunden werden
$R(t)^2 = a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t)$

Jedoch ist das Problem, das der Winkel t vom obigen Beispiel der geozentrische Breite ist und Koordinaten, die in geodätischen Datumsangaben wie WGS 84 gezeigt werden, geodätisch sind. Geodätische Breite wird durch den Winkel zwischen der Äquatorebene und der Normalen des Ellipsoids ermittelt wird. Im Vergleich dazu wird die geozentrische Breite durch den Winkel zwischen der Äquatorebene und der Verbindungslinie des Punkts zum Ellipsoid Zentrums bestimmt (siehe Abbildung).

Um den Radius zu finden, muss man die geodätische Breite $\alpha$ zur geozentrischen Breite $\beta$ verbinden.

Man kann von der Tangente der Kurve anfangen, die man durch die Differenzierung der Kurvengleichung erhält.

$(x,y)'=(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = ( -a \, sin(t), b \, cos(t))$

Dies ist der Vektor, der entlang der Kurve zeigt (entlang T-Linie auf der Figur).

Man kann diese um 90 Grad im Uhrzeigersinn rotieren $(x,y) => (y, -x)$ und man bekommt den normalen Vektor $(b \, cos(t), a \, sin(t))$ , welcher entlang der N-Linie zeigt.

Parameter t ist der $\alpha$ . Die Steigung des normalen Vektors ist auch die Tangente des Winkels $\beta$ . Daher ist
$tan(\beta)=\frac{a \, sin(\alpha)}{b \, cos(\alpha)}=\frac{a}{b}tan(\alpha)$
oder
$tan(\alpha)=\frac{b}{a}tan(\beta)$

Unter Verwendung der Beziehung zwischen der Tangen und Kosinus
$1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)} => cos^2(\alpha)=\frac{1}{1+tan^2(\alpha)}$
und zwischen Tangent und Sinus
$1+cotan^2(\alpha)=\frac{1}{sin^2(\alpha)} => sin^2(\alpha)=\frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}}=\frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$ ,
Kann man die Formel für den Radius umschreiben als
$R^2 = a^2 \frac{1}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}} = \frac{a^2}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$
Und ersetzt die Tangente von $\alpha$ mit der Tangente von $\beta$ Ausdrucks
$R^2 = \frac{a^2}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)} + b^2\frac{\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}=\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)}$

Dann kann man es ein wenig vereinfachen
$R^2 =\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)} = \frac{a^4cos^2(\beta)+b^4sin^2(\beta)}{a^2cos^2(\beta)+b^2sin^2(\beta)}= \frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}$

Und schlussendlich bekommt man die Formel von Wikipedia

$R =\sqrt{\frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}}$

Der obige Rechner nutzt diese Formel.

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