Die Diskriminante
Dieser Onlinerechner berechnet die Diskriminante eines quadratischen Polynoms sowie Polynoms des höheren Grades.
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In der Algebra ist die Diskriminante eines Polynoms ist eine Polynomfunktion deren Koeffizienten, welche es erlaubt, einige Eigenschaften der Wurzeln zu ermitteln, ohne diese zu berechnen.1
Sie kennen sicher die bekannte Formel für die Ermittlung der Diskriminante einer quadratischen Polynoms , welche
ist, und man verwendet diese Formel, um die Wurzeln zu berechnen.
Jedoch erlaubt es die Diskriminante die Ableitung von einigen Eigenschaften der Wurzeln, ohne diese zu berechnen. In dem Fall eines quadratischen Polynoms ist dies Null, wenn – und nur dann- das Polynom eine doppelte Wurzel hat. Sie ist positiv, wenn das Polynom 2 reelle Wurzeln hat, und negativ, wenn die Wurzeln komplex sind.
Der untenstehende Rechner berechnet die Diskriminante, und Sie können ein wenig Theorie über Diskriminante direkt darunter finden.
Die Diskriminante eines quadratischen Polynoms
Diskriminante
Die Diskriminante für ein Polynom mit dem Grad n: kann man entweder als Term des Quotienten des Resultanten oder als Term der Wurzel definieren.
Im Term von der Wurzel ist die Diskriminante gleich
Technisch gesehen kann man die Formel für quadratische Gleichung ableiten, ohne irgendwas über die Diskriminante zu wissen. Wenn Sie dann die abgeleiteten Ausdrücke für die Wurzel in die obige Definition einführen, erhalten Sie .
Im Term für den Quotienten des Resultanten, ist die Diskriminante gleich
wobei Res die Resultante von A und die erste Ableitung von A' ist. Die Resultante ist die Determinante von Sylvestermatrix von A und A'.
Im Falle eines quadratischen Polynoms ist A und A' ist
. Wenn Sie die Sylverstermatrix für diese beiden Polynome aufschreiben und dann die Determinante ableiten, erhalten Sie erneut
.
Berechnung einer Diskriminante höheren Grades
Wenn man die zweite Definition verwendet, kann man die Formeln für ein Polynom höheren Grades ableiten (der unten angegebene Link beinhaltet die Formeln für den 3. Und 4. Grades), aber diese sind sehr komplex.
OEIS Sequenzen A007878 zeigt 5 Terme für Polynomen 3. Grades, 16 Terme für den 4. Grads, 59 Terme für den 5. Grad und schließlich 3,815,311 Terme für den 12. Grad an.
Der untenstehende Rechner berechnet die Diskriminanten für Polynomen höheren Grades anhand des Resultanten eines Polynoms und deren Ableitung.
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