Gleichung für einen Kreis, der durch 3 Punkte führt

Dieser Onlinerechner ermittelt die Gleichung eines Kreises, der durch drei Punkte führt.

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Timur

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Stefan Roesner

Erstellt: 2020-12-04 08:04:52, Letzte Aktualisierung: 2020-12-04 08:04:52
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Dieser Onlinerechner ermittelt die Gleichung eines Kreises, der durch drei Punkte führt. Als Ergebnis gibt der Rechner folgendes aus: Mittelpunkt und Radius des Kreises, die Kreisgleichung, und ein Diagramm mit dem Kreis. Dieses Verfahren, um den Mittelpunkt und Radius des Kreises zu ermitteln wird unter dem Rechner erklärt.

PLANETCALC, Gleichung für einen Kreis, der durch 3 Punkte führt

Gleichung für einen Kreis, der durch 3 Punkte führt

Erster Punkt

Zweiter Punkt

Dritter Punkt

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2

Mittelpunkt

x
 
y
 
Radius
 
Gleichung eines Kreises im Standartformat
 
Gleichung eines Kreises im allgemeinen Format
 
Parametrische Gleichung eines Kreises
 

Wie man einen Kreis ermittelt, der durch 3 gegebene Punkte führt

Schauen wir mal an, wie die Gleichung eines Kreises im allgemeinen Format aussieht
x^2+y^2+2ax+2by+c=0

Da alle drei Punkte zu einem Kreis gehören sollen, kann man Systemgleichungen erstellen

x_1^2+y_1^2+2ax_1+2by_1+c=0\\x_2^2+y_2^2+2ax_2+2by_2+c=0\\x_3^2+y_3^2+2ax_3+2by_3+c=0

Die Werte (x_1, y_1), (x_2, y_2) und (x_3, y_3) sind bekannt. Jetzt muss man die Gleichung für die Unbekannten a, b and c ändern.

2x_1a+2y_1b+c + x_1^2+y_1^2+=0\\2x_2a+2y_2b+c+x_2^2+y_2^2=0\\2x_3a+2y_3b+c+x_3^2+y_3^2=0

Jetzt hat man drei lineare Gleichungen für die drei Unbekannten – ein lineares Gleichungssystem im folgenden Matrixformat:
\begin{bmatrix}2x_1 & 2y_1 & 1 \\2x_2 & 2y_2 & 1 \\2x_3 & 2y_3 & 1 \\\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-(x_1^2+y_1^2)\\-(x_2^2+y_2^2)\\-(x_3^2+y_3^2)\\\end{bmatrix}

Dies kann man z.B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren wie im Gaußsches Eliminationsverfahren lösen. Wenn es keine Lösung gibt, bedeutet dies, dass die Punkte kollinear sind und es unmöglich ist, einen Kreis durch alle drei Punkte zu führen.
Die Koordinaten vom Mittelpunkt des Kreises und dessen Radius bezieht sich auf die Lösung wie hier gezeigt
x_c=-a\\y_c=-b\\R=\sqrt{x_c^2+y_c^2-c}

Wenn man den Mittelpunkt und den Radius kennt, kann man die Gleichung mit Gleichungen eines Kreises in verschiedenen Formen mit gegebenen Mittelpunkt und Radius ermitteln.

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